BERNOULLI (LES)

BERNOULLI (LES)

Originaire d’Anvers, mais fixée à Bâle depuis la fin du XVI^e siècle, l’illustre famille des Bernoulli a donné en moins de trois générations une pléiade de mathématiciens. Adeptes enthousiastes du calcul infinitésimal alors en pleine élaboration, les frères Jacques et Jean ont joué un rôle de premier plan dans la clarification et la diffusion de ce nouveau calcul qui allait atteindre sa plus grande puissance entre les mains de leur élève L. Euler. Leur correspondance avec les plus grands mathématiciens de l’Europe constitue un extraordinaire panorama de l’activité scientifique à l’aube du XVIII^e siècle. Daniel Bernoulli, fils de Jean, est surtout célèbre pour avoir appliqué avec succès à la physique le calcul infinitésimal et le calcul des probabilités élaborés par son père et son oncle.

Jacques Bernoulli

Poussé par son père, Jacques Bernoulli (1654-1705) étudie d’abord la théologie, mais il se rebelle vite contre elle et s’intéresse alors à la physique et aux mathématiques; sa devise «Invito sidera verso » («J’étudie les étoiles contre la volonté de mon père») rappelle avec ironie ces dispositions contrariées. En 1687, il devint professeur à l’université de Bâle où il enseigna jusqu’à sa mort.

Après quelques traités de philosophie (de logique surtout), Jacques Bernoulli étudie l’astronomie et la physique, mais la partie la plus importante de son œuvre concerne les mathématiques; ses apports les plus importants sont les suivants:

– Fondement de la théorie statistique du calcul des probabilités. Dès 1680, Jacques Bernoulli est déjà en possession du «théorème des grands nombres». Son grand traité posthume, Ars conjectandi (1713), contient de nombreux résultats et on peut dire qu’il constitue le premier ouvrage sur le calcul des probabilités; en particulier la notion de probabilité y est clairement définie et on y trouve les célèbres et si importants nombres de Bernoulli.

– Systématisation du calcul infinitésimal. En 1687, Jacques écrit à Leibniz pour lui demander de lui préciser de nombreux points obscurs des premiers fondements du calcul infinitésimal parus dans les Acta eruditorum en 1684. Leibniz, absent de Hanovre, ne répondit qu’en 1690 et la tradition veut que pendant ces trois années d’attente Jacques Bernoulli ait réinventé le calcul leibnizien; ce qui est certain, c’est que parmi tous les savants qui étaient en correspondance avec Leibniz, il fut le premier à comprendre le calcul infinitésimal et le perfectionna considérablement; il initia son frère Jean à l’analyse mathématique et donna de nombreuses applications à la mécanique et à la géométrie qui contribuèrent à la diffusion du nouveau calcul. C’est également lui qui introduit vers 1690 l’expression «calcul intégral» (alors que Lebniz disait «calcul sommatoire») pour exprimer que dans ce calcul on cherche à exprimer le tout à partir de la partie. Jacques Bernoulli a étudié en détail la chaînette et a découvert de nombreuses propriétés de la spirale logarithmique; à ce propos, il introduit pour la première fois les coordonnées polaires en géométrie analytique et étudie très en détail la fonction exponentielle et ses rapports avec le logarithme. On lui doit également la résolution de l’équation différentielle dite de Bernoulli.

– Calculs des variations. Avec l’étude et la résolution du problème de l’isopérimètre, qui est la recherche parmi toutes les courbes de longueur donnée de celle qui limite une aire maximale (la solution est le cercle), Jacques Bernoulli résout un problème de calcul des variations: la solution revient à étudier les extrema d’une intégrale quand la fonction sous le signe d’intégration est soumise à certaines conditions; en 1697, il résoudra, en même temps que son frère, un autre problème de calcul des variations, le brachistochrone, qui est la recherche de la courbe de descente la plus rapide pour un point pesant (c’est une cycloïde).

Jean Bernoulli

Frère cadet de Jacques, Jean Bernoulli (1667-1748) étudia d’abord la médecine, mais, attiré invinciblement par les mathématiques, il se consacra vite aux sciences exactes. Nommé professeur à Groningue en 1695 sur la recommandation de Huygens, il succéda en 1705 à l’université de Bâle à son frère Jacques, à la mort de ce dernier. D’un caractère vif et emporté, il ne supportait pas de ne pas être le premier partout, ce qui le conduisit parfois à des excès regrettables; ainsi, sa conduite avec son frère Jacques à l’occasion du problème de l’isopérimètre frise la malhonnêteté. On lui doit:

– Diffusion du calcul infinitésimal. Jean Bernoulli fut un remarquable professeur qui expliqua et fit connaître avec passion le nouveau calcul leibnizien. C’est lui qui l’introduisit en France en 1691-1692 et on lui doit le premier traité de calcul différentiel et intégral écrit vers cette même époque à l’intention du marquis de l’Hôpital; le fameux Analyse des infiniment petits de ce dernier n’est autre qu’une traduction remaniée du traité de Jean Bernoulli. Jean fut en relations épistolaires non seulement avec Leibniz, mais avec les mathématiciens de l’Europe entière, défendant avec passion le nouveau calcul (dans un style plus «moderne» et plus clair que celui de son frère Jacques qui avait gardé le langage mathématique du XVII^e siècle), ce qui lui valut le titre de Praeceptor mathematicus Europae. On lui doit des travaux sur les fonctions exponentielles et circulaires et l’étude des trajectoires orthogonales des courbes et des géodésiques; en 1701-1702, il découvrit simultanément avec Leibniz la décomposition des fractions rationnelles en éléments simples.

– Mathématiques appliquées. Jean Bernoulli fut un des fondateurs de la mécanique analytique: on lui doit le principe des déplacements virtuels, ainsi que l’introduction du symbole g pour désigner l’accélération de la pesanteur. Il fit de nombreux travaux en optique et on lui doit une théorie des marées et une théorie de la manœuvre des vaisseaux.

Daniel Bernoulli

Dans la seconde génération des Bernoulli, Daniel (1700-1782) fut sans doute le plus important. Après des études médicales, il passa sept ans, de 1726 à 1733, à l’Académie de Saint-Pétersbourg en tant que mathématicien; après son retour à Bâle, il fut successivement professeur de botanique, d’anatomie et de physique.

À partir de considérations purement mathématiques, il a exposé dans son ouvrage Hydrodynamica paru en 1738 les premiers principes de ce qu’on appelle de nos jours la théorie cinétique des gaz, qui consiste à interpréter la pression d’un gaz comme provenant du choc des molécules gazeuses; dans le même ouvrage, il montre le rôle fondamental du principe de conservation de l’énergie en hydrodynamique. Daniel Bernoulli étudia également les cordes vibrantes et on peut le considérer comme un des fondateurs de la physique mathématique.

Encyclopédie Universelle. 2012.